Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x^(1-x)
-
Límite de (1-2/x)^x
-
Límite de -2+x
-
Límite de x^2/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- ((dos +x)/(tres +x))^(cuatro +x)
- ((2 más x) dividir por (3 más x)) en el grado (4 más x)
- ((dos más x) dividir por (tres más x)) en el grado (cuatro más x)
- ((2+x)/(3+x))(4+x)
- 2+x/3+x4+x
- 2+x/3+x^4+x
- ((2+x) dividir por (3+x))^(4+x)
-
Expresiones semejantes
- ((2+x)/(3+x))^(4-x)
- ((2+x)/(3-x))^(4+x)
- ((2-x)/(3+x))^(4+x)
Límite de la función ((2+x)/(3+x))^(4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
4 + x
/2 + x\
lim |-----|
x->oo\3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4}$$
Limit(((2 + x)/(3 + x))^(4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 1}{x + 3}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1 - u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 1}{x + 3}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 3}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1 - u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = \frac{243}{1024}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = \frac{243}{1024}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = \frac{16}{81}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = \frac{243}{1024}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = \frac{243}{1024}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x + 3}\right)^{x + 4} = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo