Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (a*x+a*x^ dos)/(x^ cuatro -x^ dos)
- (a multiplicar por x más a multiplicar por x al cuadrado ) dividir por (x en el grado 4 menos x al cuadrado )
- (a multiplicar por x más a multiplicar por x en el grado dos) dividir por (x en el grado cuatro menos x en el grado dos)
- (a*x+a*x2)/(x4-x2)
- a*x+a*x2/x4-x2
- (a*x+a*x²)/(x⁴-x²)
- (a*x+a*x en el grado 2)/(x en el grado 4-x en el grado 2)
- (ax+ax^2)/(x^4-x^2)
- (ax+ax2)/(x4-x2)
- ax+ax2/x4-x2
- ax+ax^2/x^4-x^2
- (a*x+a*x^2) dividir por (x^4-x^2)
-
Expresiones semejantes
- (a*x+a*x^2)/(x^4+x^2)
- (a*x-a*x^2)/(x^4-x^2)
Límite de la función (a*x+a*x^2)/(x^4-x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|a*x + a*x |
lim |----------|
x->-1+| 4 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right)$$
Limit((a*x + a*x^2)/(x^4 - x^2), x, -1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a}{x \left(x - 1\right)}\right) = $$
$$\frac{a}{\left(-1\right) \left(-1 - 1\right)} = $$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = \frac{a}{2}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x \left(x + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a}{x \left(x - 1\right)}\right) = $$
$$\frac{a}{\left(-1\right) \left(-1 - 1\right)} = $$
= a/2
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = \frac{a}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a \left(x + 1\right)}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \frac{a \left(x + 1\right)}{x}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{a}{x} - \frac{a \left(x + 1\right)}{x^{2}}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\frac{a}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a \left(x + 1\right)}{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a \left(x + 1\right)}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \frac{a \left(x + 1\right)}{x}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{a}{x} - \frac{a \left(x + 1\right)}{x^{2}}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\frac{a}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2\
|a*x + a*x |
lim |----------|
x->-1+| 4 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right)$$
a - 2
$$\frac{a}{2}$$
/ 2\
|a*x + a*x |
lim |----------|
x->-1-| 4 2 |
\ x - x /
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right)$$
a - 2
$$\frac{a}{2}$$
a/2
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = \frac{a}{2}$$
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = \frac{a}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(a \right)}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(a \right)}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(a \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(a \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = \frac{a}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(a \right)}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(a \right)}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(a \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(a \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{a x^{2} + a x}{x^{4} - x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo