Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((uno +n)^ dos -(dos +n)^ tres)/(uno +n^ tres)
- ((1 más n) al cuadrado menos (2 más n) al cubo ) dividir por (1 más n al cubo )
- ((uno más n) en el grado dos menos (dos más n) en el grado tres) dividir por (uno más n en el grado tres)
- ((1+n)2-(2+n)3)/(1+n3)
- 1+n2-2+n3/1+n3
- ((1+n)²-(2+n)³)/(1+n³)
- ((1+n) en el grado 2-(2+n) en el grado 3)/(1+n en el grado 3)
- 1+n^2-2+n^3/1+n^3
- ((1+n)^2-(2+n)^3) dividir por (1+n^3)
-
Expresiones semejantes
- ((1+n)^2+(2+n)^3)/(1+n^3)
- ((1+n)^2-(2-n)^3)/(1+n^3)
- ((1-n)^2-(2+n)^3)/(1+n^3)
- ((1+n)^2-(2+n)^3)/(1-n^3)
Límite de la función ((1+n)^2-(2+n)^3)/(1+n^3)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 3\
|(1 + n) - (2 + n) |
lim |-------------------|
n->oo| 3 |
\ 1 + n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right)$$
Limit(((1 + n)^2 - (2 + n)^3)/(1 + n^3), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^3:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{5}{n} - \frac{10}{n^{2}} - \frac{7}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{5}{n} - \frac{10}{n^{2}} - \frac{7}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 7 u^{3} - 10 u^{2} - 5 u - 1}{u^{3} + 1}\right)$$
=
$$\frac{-1 - 10 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0^{3} - 0}{0^{3} + 1} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = -1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^3:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{5}{n} - \frac{10}{n^{2}} - \frac{7}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{5}{n} - \frac{10}{n^{2}} - \frac{7}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 7 u^{3} - 10 u^{2} - 5 u - 1}{u^{3} + 1}\right)$$
=
$$\frac{-1 - 10 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0^{3} - 0}{0^{3} + 1} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = -1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n^{3} - 5 n^{2} - 10 n - 7\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{3} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(- n^{3} - 5 n^{2} - 10 n - 7\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- 3 n^{2} - 10 n - 10}{3 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(- 3 n^{2} - 10 n - 10\right)}{\frac{d}{d n} 3 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- 6 n - 10}{6 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(- 6 n - 10\right)}{\frac{d}{d n} 6 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(- n^{3} - 5 n^{2} - 10 n - 7\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{3} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(- n^{3} - 5 n^{2} - 10 n - 7\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- 3 n^{2} - 10 n - 10}{3 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(- 3 n^{2} - 10 n - 10\right)}{\frac{d}{d n} 3 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- 6 n - 10}{6 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(- 6 n - 10\right)}{\frac{d}{d n} 6 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = -1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = -7$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = -7$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = - \frac{23}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = - \frac{23}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = -1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = -7$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = -7$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = - \frac{23}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = - \frac{23}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2} - \left(n + 2\right)^{3}}{n^{3} + 1}\right) = -1$$
Más detalles con n→-oo