Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de 1+1/x
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Expresiones idénticas
- x^ dos *(tres +x^(- dos)+x^ dos)^ cuatro
- x al cuadrado multiplicar por (3 más x en el grado ( menos 2) más x al cuadrado ) en el grado 4
- x en el grado dos multiplicar por (tres más x en el grado ( menos dos) más x en el grado dos) en el grado cuatro
- x2*(3+x(-2)+x2)4
- x2*3+x-2+x24
- x²*(3+x^(-2)+x²)⁴
- x en el grado 2*(3+x en el grado (-2)+x en el grado 2) en el grado 4
- x^2(3+x^(-2)+x^2)^4
- x2(3+x(-2)+x2)4
- x23+x-2+x24
- x^23+x^-2+x^2^4
-
Expresiones semejantes
- x^2*(3+x^(2)+x^2)^4
- x^2*(3+x^(-2)-x^2)^4
- x^2*(3-x^(-2)+x^2)^4
Límite de la función x^2*(3+x^(-2)+x^2)^4
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4\
| 2 / 1 2\ |
lim |x *|3 + -- + x | |
x->oo| | 2 | |
\ \ x / /
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right)$$
Limit(x^2*(3 + x^(-2) + x^2)^4, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{16} + 12 x^{14} + 58 x^{12} + 144 x^{10} + 195 x^{8} + 144 x^{6} + 58 x^{4} + 12 x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{6} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} + 3 x^{2} + 1\right)^{4}}{x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{16} + 12 x^{14} + 58 x^{12} + 144 x^{10} + 195 x^{8} + 144 x^{6} + 58 x^{4} + 12 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16 x^{15} + 168 x^{13} + 696 x^{11} + 1440 x^{9} + 1560 x^{7} + 864 x^{5} + 232 x^{3} + 24 x}{6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(16 x^{15} + 168 x^{13} + 696 x^{11} + 1440 x^{9} + 1560 x^{7} + 864 x^{5} + 232 x^{3} + 24 x\right)}{\frac{d}{d x} 6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{240 x^{14} + 2184 x^{12} + 7656 x^{10} + 12960 x^{8} + 10920 x^{6} + 4320 x^{4} + 696 x^{2} + 24}{30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(240 x^{14} + 2184 x^{12} + 7656 x^{10} + 12960 x^{8} + 10920 x^{6} + 4320 x^{4} + 696 x^{2} + 24\right)}{\frac{d}{d x} 30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3360 x^{13} + 26208 x^{11} + 76560 x^{9} + 103680 x^{7} + 65520 x^{5} + 17280 x^{3} + 1392 x}{120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3360 x^{13} + 26208 x^{11} + 76560 x^{9} + 103680 x^{7} + 65520 x^{5} + 17280 x^{3} + 1392 x\right)}{\frac{d}{d x} 120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{43680 x^{12} + 288288 x^{10} + 689040 x^{8} + 725760 x^{6} + 327600 x^{4} + 51840 x^{2} + 1392}{360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(43680 x^{12} + 288288 x^{10} + 689040 x^{8} + 725760 x^{6} + 327600 x^{4} + 51840 x^{2} + 1392\right)}{\frac{d}{d x} 360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{524160 x^{11} + 2882880 x^{9} + 5512320 x^{7} + 4354560 x^{5} + 1310400 x^{3} + 103680 x}{720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(524160 x^{11} + 2882880 x^{9} + 5512320 x^{7} + 4354560 x^{5} + 1310400 x^{3} + 103680 x\right)}{\frac{d}{d x} 720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8008 x^{10} + 36036 x^{8} + 53592 x^{6} + 30240 x^{4} + 5460 x^{2} + 144\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8008 x^{10} + 36036 x^{8} + 53592 x^{6} + 30240 x^{4} + 5460 x^{2} + 144\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 6 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{16} + 12 x^{14} + 58 x^{12} + 144 x^{10} + 195 x^{8} + 144 x^{6} + 58 x^{4} + 12 x^{2} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{6} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} + 3 x^{2} + 1\right)^{4}}{x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{16} + 12 x^{14} + 58 x^{12} + 144 x^{10} + 195 x^{8} + 144 x^{6} + 58 x^{4} + 12 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16 x^{15} + 168 x^{13} + 696 x^{11} + 1440 x^{9} + 1560 x^{7} + 864 x^{5} + 232 x^{3} + 24 x}{6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(16 x^{15} + 168 x^{13} + 696 x^{11} + 1440 x^{9} + 1560 x^{7} + 864 x^{5} + 232 x^{3} + 24 x\right)}{\frac{d}{d x} 6 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{240 x^{14} + 2184 x^{12} + 7656 x^{10} + 12960 x^{8} + 10920 x^{6} + 4320 x^{4} + 696 x^{2} + 24}{30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(240 x^{14} + 2184 x^{12} + 7656 x^{10} + 12960 x^{8} + 10920 x^{6} + 4320 x^{4} + 696 x^{2} + 24\right)}{\frac{d}{d x} 30 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3360 x^{13} + 26208 x^{11} + 76560 x^{9} + 103680 x^{7} + 65520 x^{5} + 17280 x^{3} + 1392 x}{120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3360 x^{13} + 26208 x^{11} + 76560 x^{9} + 103680 x^{7} + 65520 x^{5} + 17280 x^{3} + 1392 x\right)}{\frac{d}{d x} 120 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{43680 x^{12} + 288288 x^{10} + 689040 x^{8} + 725760 x^{6} + 327600 x^{4} + 51840 x^{2} + 1392}{360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(43680 x^{12} + 288288 x^{10} + 689040 x^{8} + 725760 x^{6} + 327600 x^{4} + 51840 x^{2} + 1392\right)}{\frac{d}{d x} 360 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{524160 x^{11} + 2882880 x^{9} + 5512320 x^{7} + 4354560 x^{5} + 1310400 x^{3} + 103680 x}{720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(524160 x^{11} + 2882880 x^{9} + 5512320 x^{7} + 4354560 x^{5} + 1310400 x^{3} + 103680 x\right)}{\frac{d}{d x} 720 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8008 x^{10} + 36036 x^{8} + 53592 x^{6} + 30240 x^{4} + 5460 x^{2} + 144\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8008 x^{10} + 36036 x^{8} + 53592 x^{6} + 30240 x^{4} + 5460 x^{2} + 144\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 6 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right) = 625$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right) = 625$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right) = 625$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right) = 625$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x^{2} + \left(3 + \frac{1}{x^{2}}\right)\right)^{4}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo