Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Expresiones idénticas
- ((cinco +x)/x)^(- tres + dos *x)
- ((5 más x) dividir por x) en el grado ( menos 3 más 2 multiplicar por x)
- ((cinco más x) dividir por x) en el grado ( menos tres más dos multiplicar por x)
- ((5+x)/x)(-3+2*x)
- 5+x/x-3+2*x
- ((5+x)/x)^(-3+2x)
- ((5+x)/x)(-3+2x)
- 5+x/x-3+2x
- 5+x/x^-3+2x
- ((5+x) dividir por x)^(-3+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((5+x)/x)^(-3-2*x)
- ((5-x)/x)^(-3+2*x)
- ((5+x)/x)^(3+2*x)
Límite de la función ((5+x)/x)^(-3+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-3 + 2*x
/5 + x\
lim |-----|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3}$$
Limit(((5 + x)/x)^(-3 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{2 x - 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{2 x - 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10} = e^{10}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = e^{10}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{2 x - 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{2 x - 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10} = e^{10}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = e^{10}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = e^{10}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = \frac{1}{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = \frac{1}{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = e^{10}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = \frac{1}{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = \frac{1}{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{2 x - 3} = e^{10}$$
Más detalles con x→-oo