Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 11 x^{2} - 5 x + 7\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 x + \left(7 - 11 x^{2}\right)}{2 x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 11 x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} + 2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 11 x^{2} - 5 x + 7\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 22 x - 5}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 22 x - 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -11$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -11$$
=
$$-11$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)