Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Límite de (-1+4*x+5*x^2)/(-2+x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x/(tres +x))^(dos *x)
- (x dividir por (3 más x)) en el grado (2 multiplicar por x)
- (x dividir por (tres más x)) en el grado (dos multiplicar por x)
- (x/(3+x))(2*x)
- x/3+x2*x
- (x/(3+x))^(2x)
- (x/(3+x))(2x)
- x/3+x2x
- x/3+x^2x
- (x dividir por (3+x))^(2*x)
-
Expresiones semejantes
- (x/(3-x))^(2*x)
Límite de la función (x/(3+x))^(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x
/ x \
lim |-----|
x->oo\3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{2 x}$$
Limit((x/(3 + x))^(2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 3}{x + 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - 6}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{2 x} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 3}{x + 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - 6}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{2 x} = e^{-6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Gráfico