Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(x^{2} + 4 x + 4\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{4}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{x^{2} + 4 x + 4}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 4 x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 x + 4}{3 x^{2} + 4 x - 4}\right)$$
=
$$- \frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)