Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 27 x^{3} + 27 x^{2} + 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(27 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{2} + x\right) + \frac{1}{27 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{27 x^{2} \left(1 - x\right) + 1}{27 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 27 x^{3} + 27 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 27 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{2} + 2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{2} + 2 x\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)