Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- (x/ tres)^(dos /(- tres +x))
- (x dividir por 3) en el grado (2 dividir por ( menos 3 más x))
- (x dividir por tres) en el grado (dos dividir por ( menos tres más x))
- (x/3)(2/(-3+x))
- x/32/-3+x
- x/3^2/-3+x
- (x dividir por 3)^(2 dividir por (-3+x))
-
Expresiones semejantes
- (x/3)^(2/(3+x))
- (x/3)^(2/(-3-x))
Límite de la función (x/3)^(2/(-3+x))
Solución
Ha introducido
[src]
2
------
-3 + x
/x\
lim |-|
x->3+\3/
$$\lim_{x \to 3^+} \left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{2}{x - 3}}$$
Limit((x/3)^(2/(-3 + x)), x, 3)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 3^+} \left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{2}{x - 3}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{\frac{x}{3} - 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{\frac{x}{3} - 1}}\right)^{\frac{2}{x - 3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+} \left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{2}{x - 3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to 3^+} \left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{2}{x - 3}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{\frac{x}{3} - 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{\frac{x}{3} - 1}}\right)^{\frac{2}{x - 3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 3^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{2}{3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+} \left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{2}{x - 3}} = e^{\frac{2}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
2
------
-3 + x
/x\
lim |-|
x->3+\3/
$$\lim_{x \to 3^+} \left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{2}{x - 3}}$$
2/3 e
$$e^{\frac{2}{3}}$$
= 1.94773404105468
2
------
-3 + x
/x\
lim |-|
x->3-\3/
$$\lim_{x \to 3^-} \left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{2}{x - 3}}$$
2/3 e
$$e^{\frac{2}{3}}$$
= 1.94773404105468
= 1.94773404105468
Gráfico