Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de tan(x)/x
-
Límite de sin(3*x)/x
- Límite de (-9+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (-16+x^2)/(-4+x)
-
Expresiones idénticas
- x*(uno -cos(uno /x))
- x multiplicar por (1 menos coseno de (1 dividir por x))
- x multiplicar por (uno menos coseno de (uno dividir por x))
- x(1-cos(1/x))
- x1-cos1/x
- x*(1-cos(1 dividir por x))
-
Expresiones semejantes
- x*(1+cos(1/x))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)^(3+x)
- cos(2*x)^(3/x)
- cos(x^2)
- cos(x)/sqrt(x)
- cos(x)/(10*x)
Límite de la función x*(1-cos(1/x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / /1\\\ lim |x*|1 - cos|-||| x->oo\ \ \x///
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right)$$
Limit(x*(1 - cos(1/x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2 x}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x^{2}\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2 x}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x^{2}\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2 x}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x^{2}\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2 x}{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right) \left(- x^{2} \cos^{3}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 3 x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + x^{2}\right)}{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo