Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((dos +n)/(uno +n))^(tres *n)
- ((2 más n) dividir por (1 más n)) en el grado (3 multiplicar por n)
- ((dos más n) dividir por (uno más n)) en el grado (tres multiplicar por n)
- ((2+n)/(1+n))(3*n)
- 2+n/1+n3*n
- ((2+n)/(1+n))^(3n)
- ((2+n)/(1+n))(3n)
- 2+n/1+n3n
- 2+n/1+n^3n
- ((2+n) dividir por (1+n))^(3*n)
-
Expresiones semejantes
- ((2+n)/(1-n))^(3*n)
- ((2-n)/(1+n))^(3*n)
Límite de la función ((2+n)/(1+n))^(3*n)
Solución
Ha introducido
[src]
3*n
/2 + n\
lim |-----|
n->oo\1 + n/
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n}$$
Limit(((2 + n)/(1 + n))^(3*n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 1\right) + 1}{n + 1}\right)^{3 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}\right)^{3 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n + 1}\right)^{3 n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 1}{1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n + 1}\right)^{3 n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = e^{3}$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 1\right) + 1}{n + 1}\right)^{3 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1}\right)^{3 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n + 1}\right)^{3 n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 1}{1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n + 1}\right)^{3 n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = e^{3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = e^{3}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = \frac{27}{8}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = \frac{27}{8}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = e^{3}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = \frac{27}{8}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = \frac{27}{8}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{3 n} = e^{3}$$
Más detalles con n→-oo