Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
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Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres + tres *x)/(cinco + tres *x))^(- cuatro + tres *x)
- ((3 más 3 multiplicar por x) dividir por (5 más 3 multiplicar por x)) en el grado ( menos 4 más 3 multiplicar por x)
- ((tres más tres multiplicar por x) dividir por (cinco más tres multiplicar por x)) en el grado ( menos cuatro más tres multiplicar por x)
- ((3+3*x)/(5+3*x))(-4+3*x)
- 3+3*x/5+3*x-4+3*x
- ((3+3x)/(5+3x))^(-4+3x)
- ((3+3x)/(5+3x))(-4+3x)
- 3+3x/5+3x-4+3x
- 3+3x/5+3x^-4+3x
- ((3+3*x) dividir por (5+3*x))^(-4+3*x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+3*x)/(5-3*x))^(-4+3*x)
- ((3+3*x)/(5+3*x))^(4+3*x)
- ((3+3*x)/(5+3*x))^(-4-3*x)
- ((3-3*x)/(5+3*x))^(-4+3*x)
Límite de la función ((3+3*x)/(5+3*x))^(-4+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-4 + 3*x
/3 + 3*x\
lim |-------|
x->oo\5 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$
Limit(((3 + 3*x)/(5 + 3*x))^(-4 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 5\right) - 2}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 5}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 9}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 5\right) - 2}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 5}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 9}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = \frac{625}{81}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = \frac{625}{81}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = \frac{625}{81}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = \frac{625}{81}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = \frac{4}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 3}{3 x + 5}\right)^{3 x - 4} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo