Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+11/x)^x
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Expresiones idénticas
- ((- tres +x)/(tres +x))^(- cuatro +x)
- (( menos 3 más x) dividir por (3 más x)) en el grado ( menos 4 más x)
- (( menos tres más x) dividir por (tres más x)) en el grado ( menos cuatro más x)
- ((-3+x)/(3+x))(-4+x)
- -3+x/3+x-4+x
- -3+x/3+x^-4+x
- ((-3+x) dividir por (3+x))^(-4+x)
-
Expresiones semejantes
- ((-3-x)/(3+x))^(-4+x)
- ((-3+x)/(3-x))^(-4+x)
- ((3+x)/(3+x))^(-4+x)
- ((-3+x)/(3+x))^(4+x)
- ((-3+x)/(3+x))^(-4-x)
Límite de la función ((-3+x)/(3+x))^(-4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
-4 + x
/-3 + x\
lim |------|
x->oo\3 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4}$$
Limit(((-3 + x)/(3 + x))^(-4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 6}{x + 3}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 3}\right)^{x - 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 3}\right)^{x - 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - 7}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 6}{x + 3}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{x - 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 3}\right)^{x - 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{x + 3}\right)^{x - 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - 7}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = e^{-6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = e^{-6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = -8$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = -8$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = -8$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = -8$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 3}{x + 3}\right)^{x - 4} = e^{-6}$$
Más detalles con x→-oo