Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+3*x^2+5*x)/(4+3*x^2+8*x)
-
Límite de (1-3*x^2+2*x^3)/(x^3+2*x+4*x^2)
- Límite de (-1-x+2*x^2)/(-2+x^3-x+2*x^2)
-
Límite de (-4+x)/(3+x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno + nueve *x^ dos)-sqrt(dos + cuatro *x+ nueve *x^ dos)
- raíz cuadrada de (1 más 9 multiplicar por x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (2 más 4 multiplicar por x más 9 multiplicar por x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (uno más nueve multiplicar por x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (dos más cuatro multiplicar por x más nueve multiplicar por x en el grado dos)
- √(1+9*x^2)-√(2+4*x+9*x^2)
- sqrt(1+9*x2)-sqrt(2+4*x+9*x2)
- sqrt1+9*x2-sqrt2+4*x+9*x2
- sqrt(1+9*x²)-sqrt(2+4*x+9*x²)
- sqrt(1+9*x en el grado 2)-sqrt(2+4*x+9*x en el grado 2)
- sqrt(1+9x^2)-sqrt(2+4x+9x^2)
- sqrt(1+9x2)-sqrt(2+4x+9x2)
- sqrt1+9x2-sqrt2+4x+9x2
- sqrt1+9x^2-sqrt2+4x+9x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1+9*x^2)-sqrt(2+4*x-9*x^2)
- sqrt(1+9*x^2)-sqrt(2-4*x+9*x^2)
- sqrt(1+9*x^2)+sqrt(2+4*x+9*x^2)
- sqrt(1-9*x^2)-sqrt(2+4*x+9*x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(7)*(-sqrt(7)-2*x+sqrt(7)*t^2)/(7*sqrt(x))
- sqrt(13+x)-2*sqrt(1+x)/(-9+x^2)
- sqrt(1+n)*Abs(1+log(n))/(sqrt(n)*(1+log(1+n)))
- sqrt(1+3*x^2)-sqrt(-1+2*x^2)
- sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n)))-sqrt(n+sqrt(n))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(7)*(-sqrt(7)-2*x+sqrt(7)*t^2)/(7*sqrt(x))
- sqrt(13+x)-2*sqrt(1+x)/(-9+x^2)
- sqrt(1+n)*Abs(1+log(n))/(sqrt(n)*(1+log(1+n)))
- sqrt(1+3*x^2)-sqrt(-1+2*x^2)
- sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n)))-sqrt(n+sqrt(n))
Límite de la función sqrt(1+9*x^2)-sqrt(2+4*x+9*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________ ________________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + 9*x - \/ 2 + 4*x + 9*x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right)$$
Limit(sqrt(1 + 9*x^2) - sqrt(2 + 4*x + 9*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) \left(\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right)}{\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{9 x^{2} + 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right)^{2}}{\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 9 x^{2} + \left(- 4 x - 2\right)\right) + \left(9 x^{2} + 1\right)}{\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 4 x - 1}{\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-4 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x} + \frac{\sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-4 - \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{9 x^{2} + 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-4 - \frac{1}{x}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{9 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-4 - \frac{1}{x}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{9 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u - 4}{\sqrt{u^{2} + 9} + \sqrt{2 u^{2} + 4 u + 9}}\right)$$ =
= $$\frac{-4 - 0}{\sqrt{0^{2} + 9} + \sqrt{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 9}} = - \frac{2}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) \left(\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right)}{\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{9 x^{2} + 1}\right)^{2} - \left(\sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right)^{2}}{\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 9 x^{2} + \left(- 4 x - 2\right)\right) + \left(9 x^{2} + 1\right)}{\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 4 x - 1}{\sqrt{9 x^{2} + 1} + \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-4 - \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x} + \frac{\sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-4 - \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{9 x^{2} + 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-4 - \frac{1}{x}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{9 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-4 - \frac{1}{x}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{9 + \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u - 4}{\sqrt{u^{2} + 9} + \sqrt{2 u^{2} + 4 u + 9}}\right)$$ =
= $$\frac{-4 - 0}{\sqrt{0^{2} + 9} + \sqrt{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 4 + 9}} = - \frac{2}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = - \sqrt{15} + \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = - \sqrt{15} + \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = - \sqrt{15} + \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = - \sqrt{15} + \sqrt{10}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{9 x^{2} + 1} - \sqrt{9 x^{2} + \left(4 x + 2\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo