Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (- ocho +x^ dos - dos *x)/(dos + dos *x^ dos + cinco *x)
- ( menos 8 más x al cuadrado menos 2 multiplicar por x) dividir por (2 más 2 multiplicar por x al cuadrado más 5 multiplicar por x)
- ( menos ocho más x en el grado dos menos dos multiplicar por x) dividir por (dos más dos multiplicar por x en el grado dos más cinco multiplicar por x)
- (-8+x2-2*x)/(2+2*x2+5*x)
- -8+x2-2*x/2+2*x2+5*x
- (-8+x²-2*x)/(2+2*x²+5*x)
- (-8+x en el grado 2-2*x)/(2+2*x en el grado 2+5*x)
- (-8+x^2-2x)/(2+2x^2+5x)
- (-8+x2-2x)/(2+2x2+5x)
- -8+x2-2x/2+2x2+5x
- -8+x^2-2x/2+2x^2+5x
- (-8+x^2-2*x) dividir por (2+2*x^2+5*x)
-
Expresiones semejantes
- (-8+x^2-2*x)/(2+2*x^2-5*x)
- (-8-x^2-2*x)/(2+2*x^2+5*x)
- (-8+x^2-2*x)/(2-2*x^2+5*x)
- (8+x^2-2*x)/(2+2*x^2+5*x)
- (-8+x^2+2*x)/(2+2*x^2+5*x)
Límite de la función (-8+x^2-2*x)/(2+2*x^2+5*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|-8 + x - 2*x |
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\2 + 2*x + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
Limit((-8 + x^2 - 2*x)/(2 + 2*x^2 + 5*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{2 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{2 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 8 u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{2} + 5 u + 2}\right)$$
=
$$\frac{- 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1}{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 5 + 2} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{2 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{2 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 8 u^{2} - 2 u + 1}{2 u^{2} + 5 u + 2}\right)$$
=
$$\frac{- 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1}{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 5 + 2} = \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 2 x - 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 5 x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x - 8}{2 x^{2} + 5 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 5 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{4 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 2 x - 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 5 x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 2 x - 8}{2 x^{2} + 5 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 2 x - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 5 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{4 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
|-8 + x - 2*x |
lim |--------------|
x->-2+| 2 |
\2 + 2*x + 5*x/
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
/ 2 \
|-8 + x - 2*x |
lim |--------------|
x->-2-| 2 |
\2 + 2*x + 5*x/
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
2
$$2$$
= 2.0
= 2.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = -4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = -4$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = -4$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = -4$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = -1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x + \left(x^{2} - 8\right)}{5 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico