Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{2} + 3 x - 4\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 x^{2} - x + 8\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{2} + \left(3 x - 4\right)}{6 x^{2} + \left(8 - x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{2} + 3 x - 4}{6 x^{2} - x + 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x^{2} + 3 x - 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x^{2} - x + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{10 x + 3}{12 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(10 x + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{5}{6}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{5}{6}$$
=
$$\frac{5}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)