Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((cinco + tres *n)/(siete + tres *n))^(tres + cinco *n)
- ((5 más 3 multiplicar por n) dividir por (7 más 3 multiplicar por n)) en el grado (3 más 5 multiplicar por n)
- ((cinco más tres multiplicar por n) dividir por (siete más tres multiplicar por n)) en el grado (tres más cinco multiplicar por n)
- ((5+3*n)/(7+3*n))(3+5*n)
- 5+3*n/7+3*n3+5*n
- ((5+3n)/(7+3n))^(3+5n)
- ((5+3n)/(7+3n))(3+5n)
- 5+3n/7+3n3+5n
- 5+3n/7+3n^3+5n
- ((5+3*n) dividir por (7+3*n))^(3+5*n)
-
Expresiones semejantes
- ((5+3*n)/(7-3*n))^(3+5*n)
- ((5-3*n)/(7+3*n))^(3+5*n)
- ((5+3*n)/(7+3*n))^(3-5*n)
Límite de la función ((5+3*n)/(7+3*n))^(3+5*n)
Solución
Ha introducido
[src]
3 + 5*n
/5 + 3*n\
lim |-------|
n->oo\7 + 3*n/
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$
Limit(((5 + 3*n)/(7 + 3*n))^(3 + 5*n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(3 n + 7\right) - 2}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{2}{3 n + 7} + \frac{3 n + 7}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 n + 7}{-2}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3} - \frac{26}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{26}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{26}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = e^{- \frac{10}{3}}$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(3 n + 7\right) - 2}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{2}{3 n + 7} + \frac{3 n + 7}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 n + 7}{-2}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3} - \frac{26}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{26}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{26}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = e^{- \frac{10}{3}}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = \frac{125}{343}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = \frac{125}{343}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = \frac{65536}{390625}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = \frac{65536}{390625}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = \frac{125}{343}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = \frac{125}{343}$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = \frac{65536}{390625}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = \frac{65536}{390625}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{3 n + 5}{3 n + 7}\right)^{5 n + 3} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Más detalles con n→-oo