Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de (x-x^3+5*x^2)/(-x^2+2*x^3+7*x)
-
Expresiones idénticas
- ((- dos +x)/(dos +x))^(cuatro +x)
- (( menos 2 más x) dividir por (2 más x)) en el grado (4 más x)
- (( menos dos más x) dividir por (dos más x)) en el grado (cuatro más x)
- ((-2+x)/(2+x))(4+x)
- -2+x/2+x4+x
- -2+x/2+x^4+x
- ((-2+x) dividir por (2+x))^(4+x)
-
Expresiones semejantes
- ((2+x)/(2+x))^(4+x)
- ((-2-x)/(2+x))^(4+x)
- ((-2+x)/(2+x))^(4-x)
- ((-2+x)/(2-x))^(4+x)
Límite de la función ((-2+x)/(2+x))^(4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
4 + x
/-2 + x\
lim |------|
x->oo\2 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4}$$
Limit(((-2 + x)/(2 + x))^(4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 4}{x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 2}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 - 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 4}{x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 2}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{x + 2}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 - 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = e^{-4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = - \frac{1}{243}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = - \frac{1}{243}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = - \frac{1}{243}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = - \frac{1}{243}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^{x + 4} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo