Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+11/x)^x
-
Límite de (x/(6+x))^x
-
Límite de (-2+(8+x)^(1/3))/(-1+sqrt(1+2*x))
-
Límite de (4+x^3+5*x^2+8*x)/(-4+x^3+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((siete + cuatro *n)/(ocho + tres *n))^n/n^ cinco
- ((7 más 4 multiplicar por n) dividir por (8 más 3 multiplicar por n)) en el grado n dividir por n en el grado 5
- ((siete más cuatro multiplicar por n) dividir por (ocho más tres multiplicar por n)) en el grado n dividir por n en el grado cinco
- ((7+4*n)/(8+3*n))n/n5
- 7+4*n/8+3*nn/n5
- ((7+4*n)/(8+3*n))^n/n⁵
- ((7+4n)/(8+3n))^n/n^5
- ((7+4n)/(8+3n))n/n5
- 7+4n/8+3nn/n5
- 7+4n/8+3n^n/n^5
- ((7+4*n) dividir por (8+3*n))^n dividir por n^5
-
Expresiones semejantes
- ((7-4*n)/(8+3*n))^n/n^5
- ((7+4*n)/(8-3*n))^n/n^5
Límite de la función ((7+4*n)/(8+3*n))^n/n^5
Solución
Ha introducido
[src]
/ n\
|/7 + 4*n\ |
||-------| |
|\8 + 3*n/ |
lim |----------|
n->oo| 5 |
\ n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right)$$
Limit(((7 + 4*n)/(8 + 3*n))^n/n^5, n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n}}{\frac{d}{d n} n^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(\frac{n \left(- \frac{12 n}{\left(3 n + 8\right)^{2}} + \frac{4}{3 n + 8} - \frac{21}{\left(3 n + 8\right)^{2}}\right)}{\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}} + \log{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8} \right)}\right)}{5 n^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(- \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{5 n^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n}}{\frac{d}{d n} \frac{5 n^{4}}{- \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(\frac{n \left(- \frac{12 n}{\left(3 n + 8\right)^{2}} + \frac{4}{3 n + 8} - \frac{21}{\left(3 n + 8\right)^{2}}\right)}{\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}} + \log{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8} \right)}\right) \left(- \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{20 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(- 4 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}\right)}{20 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n}}{\frac{d}{d n} \frac{20 n^{3}}{- 4 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(\frac{n \left(- \frac{12 n}{\left(3 n + 8\right)^{2}} + \frac{4}{3 n + 8} - \frac{21}{\left(3 n + 8\right)^{2}}\right)}{\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}} + \log{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8} \right)}\right) \left(- 4 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}\right)}{60 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(- 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} - \log{\left(3 \right)}^{3} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}\right)}{60 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n}}{\frac{d}{d n} \frac{60 n^{2}}{- 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} - \log{\left(3 \right)}^{3} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(\frac{n \left(- \frac{12 n}{\left(3 n + 8\right)^{2}} + \frac{4}{3 n + 8} - \frac{21}{\left(3 n + 8\right)^{2}}\right)}{\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}} + \log{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8} \right)}\right) \left(- 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} - \log{\left(3 \right)}^{3} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}\right)}{120 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \log{\left(3 \right)} + 2 \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \log{\left(2 \right)}\right) \left(- 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} - \log{\left(3 \right)}^{3} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}\right)}{120 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \log{\left(3 \right)} + 2 \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \log{\left(2 \right)}\right) \left(- 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} - \log{\left(3 \right)}^{3} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}\right)}{120 n}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{5} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n}}{\frac{d}{d n} n^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(\frac{n \left(- \frac{12 n}{\left(3 n + 8\right)^{2}} + \frac{4}{3 n + 8} - \frac{21}{\left(3 n + 8\right)^{2}}\right)}{\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}} + \log{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8} \right)}\right)}{5 n^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(- \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{5 n^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n}}{\frac{d}{d n} \frac{5 n^{4}}{- \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(\frac{n \left(- \frac{12 n}{\left(3 n + 8\right)^{2}} + \frac{4}{3 n + 8} - \frac{21}{\left(3 n + 8\right)^{2}}\right)}{\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}} + \log{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8} \right)}\right) \left(- \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{20 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(- 4 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}\right)}{20 n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n}}{\frac{d}{d n} \frac{20 n^{3}}{- 4 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(\frac{n \left(- \frac{12 n}{\left(3 n + 8\right)^{2}} + \frac{4}{3 n + 8} - \frac{21}{\left(3 n + 8\right)^{2}}\right)}{\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}} + \log{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8} \right)}\right) \left(- 4 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}\right)}{60 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(- 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} - \log{\left(3 \right)}^{3} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}\right)}{60 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n}}{\frac{d}{d n} \frac{60 n^{2}}{- 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} - \log{\left(3 \right)}^{3} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \left(\frac{n \left(- \frac{12 n}{\left(3 n + 8\right)^{2}} + \frac{4}{3 n + 8} - \frac{21}{\left(3 n + 8\right)^{2}}\right)}{\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}} + \log{\left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8} \right)}\right) \left(- 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} - \log{\left(3 \right)}^{3} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}\right)}{120 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \log{\left(3 \right)} + 2 \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \log{\left(2 \right)}\right) \left(- 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} - \log{\left(3 \right)}^{3} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}\right)}{120 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \log{\left(3 \right)} + 2 \left(\frac{4 n}{3 n + 8} + \frac{7}{3 n + 8}\right)^{n} \log{\left(2 \right)}\right) \left(- 12 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} - \log{\left(3 \right)}^{3} + 8 \log{\left(2 \right)}^{3} + 6 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}\right)}{120 n}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right) = 1$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{4 n + 7}{3 n + 8}\right)^{n}}{n^{5}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo