Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de tan(x)/x
-
Límite de sin(3*x)/x
- Límite de (-9+x^2)/(6+x^2-5*x)
-
Límite de (-16+x^2)/(-4+x)
-
Expresiones idénticas
- (- uno +sqrt(uno +x^ dos))/x^ dos
- ( menos 1 más raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado )) dividir por x al cuadrado
- ( menos uno más raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos)) dividir por x en el grado dos
- (-1+√(1+x^2))/x^2
- (-1+sqrt(1+x2))/x2
- -1+sqrt1+x2/x2
- (-1+sqrt(1+x²))/x²
- (-1+sqrt(1+x en el grado 2))/x en el grado 2
- -1+sqrt1+x^2/x^2
- (-1+sqrt(1+x^2)) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (1+sqrt(1+x^2))/x^2
- (-1-sqrt(1+x^2))/x^2
- (-1+sqrt(1-x^2))/x^2
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(n)
- sqrt(x+9*x^2)-3*x
- sqrt(3-x)/sqrt(1-x)
- sqrt(2+x)*sqrt(sin((1+x)/(1+(1+x)^3)))/(sqrt(1+x)*sqrt(sin(x/(1+x^3))))
- sqrt(25-x^2)
Límite de la función (-1+sqrt(1+x^2))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________\
| / 2 |
|-1 + \/ 1 + x |
lim |----------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right)$$
Limit((-1 + sqrt(1 + x^2))/x^2, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x^{2} + 1} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}} \left(- \sqrt{x^{2} + 1} - 1\right)}{- \sqrt{x^{2} + 1} - 1}$$
=
$$- \frac{1}{- \sqrt{x^{2} + 1} - 1}$$
=
$$- \frac{1}{- \sqrt{x^{2} + 1} - 1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{- \sqrt{x^{2} + 1} - 1}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- \sqrt{x^{2} + 1} - 1$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}} \left(- \sqrt{x^{2} + 1} - 1\right)}{- \sqrt{x^{2} + 1} - 1}$$
=
$$- \frac{1}{- \sqrt{x^{2} + 1} - 1}$$
=
$$- \frac{1}{- \sqrt{x^{2} + 1} - 1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{- \sqrt{x^{2} + 1} - 1}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x^{2} + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ ________\
| / 2 |
|-1 + \/ 1 + x |
lim |----------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/ ________\
| / 2 |
|-1 + \/ 1 + x |
lim |----------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5
Gráfico