Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (- quince +x^ dos + doce *x)/(- nueve +x^ dos)
- ( menos 15 más x al cuadrado más 12 multiplicar por x) dividir por ( menos 9 más x al cuadrado )
- ( menos quince más x en el grado dos más doce multiplicar por x) dividir por ( menos nueve más x en el grado dos)
- (-15+x2+12*x)/(-9+x2)
- -15+x2+12*x/-9+x2
- (-15+x²+12*x)/(-9+x²)
- (-15+x en el grado 2+12*x)/(-9+x en el grado 2)
- (-15+x^2+12x)/(-9+x^2)
- (-15+x2+12x)/(-9+x2)
- -15+x2+12x/-9+x2
- -15+x^2+12x/-9+x^2
- (-15+x^2+12*x) dividir por (-9+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (15+x^2+12*x)/(-9+x^2)
- (-15+x^2-12*x)/(-9+x^2)
- (-15+x^2+12*x)/(-9-x^2)
- (-15+x^2+12*x)/(9+x^2)
- (-15-x^2+12*x)/(-9+x^2)
Límite de la función (-15+x^2+12*x)/(-9+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|-15 + x + 12*x|
lim |---------------|
x->oo| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
Limit((-15 + x^2 + 12*x)/(-9 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{12}{x} - \frac{15}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{12}{x} - \frac{15}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 15 u^{2} + 12 u + 1}{1 - 9 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{- 15 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 12 + 1}{1 - 9 \cdot 0^{2}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{12}{x} - \frac{15}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{12}{x} - \frac{15}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 15 u^{2} + 12 u + 1}{1 - 9 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{- 15 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 12 + 1}{1 - 9 \cdot 0^{2}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 12 x - 15\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 9\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 12 x - 15}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 12 x - 15\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 12}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 12 x - 15\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 9\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 12 x - 15}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 12 x - 15\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 12}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{12 x + \left(x^{2} - 15\right)}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo