Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(-1 + e^{12} e^{- 7 x} e^{x^{2}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(x - 4\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{e^{- 7 x + \left(x^{2} + 12\right)} - 1}{x - 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{e^{x^{2} - 7 x + 12} - 1}{x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(-1 + e^{12} e^{- 7 x} e^{x^{2}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(2 x e^{12} e^{- 7 x} e^{x^{2}} - 7 e^{12} e^{- 7 x} e^{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(2 x e^{12} e^{- 7 x} e^{x^{2}} - 7 e^{12} e^{- 7 x} e^{x^{2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)