Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- tres *n*(dos +n)/(uno +n)^ dos
- 3 multiplicar por n multiplicar por (2 más n) dividir por (1 más n) al cuadrado
- tres multiplicar por n multiplicar por (dos más n) dividir por (uno más n) en el grado dos
- 3*n*(2+n)/(1+n)2
- 3*n*2+n/1+n2
- 3*n*(2+n)/(1+n)²
- 3*n*(2+n)/(1+n) en el grado 2
- 3n(2+n)/(1+n)^2
- 3n(2+n)/(1+n)2
- 3n2+n/1+n2
- 3n2+n/1+n^2
- 3*n*(2+n) dividir por (1+n)^2
-
Expresiones semejantes
- 3*n*(2+n)/(1-n)^2
- 3*n*(2-n)/(1+n)^2
Límite de la función 3*n*(2+n)/(1+n)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/3*n*(2 + n)\
lim |-----------|
n->oo| 2 |
\ (1 + n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
Limit(((3*n)*(2 + n))/(1 + n)^2, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{6}{n}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{6}{n}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{6 u + 3}{u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 6 + 3}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{6}{n}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{6}{n}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{6 u + 3}{u^{2} + 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 6 + 3}{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3 n \left(n + 2\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3 n \left(n + 2\right)}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{6 n + 6}{2 n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(6 n + 6\right)}{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 3$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 3$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(3 n \left(n + 2\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3 n \left(n + 2\right)}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{6 n + 6}{2 n + 2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(6 n + 6\right)}{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 3$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 3$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = \frac{9}{4}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3 n \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con n→-oo