Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de (x-x^3+5*x^2)/(-x^2+2*x^3+7*x)
-
Expresiones idénticas
- ((- dos + nueve *x)/(nueve *x))^(- uno + tres *x)
- (( menos 2 más 9 multiplicar por x) dividir por (9 multiplicar por x)) en el grado ( menos 1 más 3 multiplicar por x)
- (( menos dos más nueve multiplicar por x) dividir por (nueve multiplicar por x)) en el grado ( menos uno más tres multiplicar por x)
- ((-2+9*x)/(9*x))(-1+3*x)
- -2+9*x/9*x-1+3*x
- ((-2+9x)/(9x))^(-1+3x)
- ((-2+9x)/(9x))(-1+3x)
- -2+9x/9x-1+3x
- -2+9x/9x^-1+3x
- ((-2+9*x) dividir por (9*x))^(-1+3*x)
-
Expresiones semejantes
- ((-2+9*x)/(9*x))^(-1-3*x)
- ((-2+9*x)/(9*x))^(1+3*x)
- ((2+9*x)/(9*x))^(-1+3*x)
- ((-2-9*x)/(9*x))^(-1+3*x)
Límite de la función ((-2+9*x)/(9*x))^(-1+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-1 + 3*x
/-2 + 9*x\
lim |--------|
x->oo\ 9*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$
Limit(((-2 + 9*x)/((9*x)))^(-1 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{9 x} + \frac{9 x}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{9 x}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = e^{- \frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{9 x} + \frac{9 x}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{9 x}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{9 x}\right)^{3 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = e^{- \frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = \frac{49}{81}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = \frac{49}{81}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = \frac{49}{81}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = \frac{49}{81}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{9 x - 2}{9 x}\right)^{3 x - 1} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo