Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \operatorname{atan}^{2}{\left(x - 1 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(e^{x^{2} - 1} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x - 1 \right)}}{e^{x^{2} - 1} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}^{2}{\left(x - 1 \right)}}{e^{x^{2} - 1} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}^{2}{\left(x - 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(e^{x^{2} - 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{1 - x^{2}} \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{x \left(\left(x - 1\right)^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(e^{1 - x^{2}} e^{x^{2} - 1} \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{x^{2} - 1} \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{\frac{d}{d x} e^{x^{2} - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(2 x e^{x^{2} - 1} \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)} + \frac{e^{x^{2} - 1}}{\left(x - 1\right)^{2} + 1}\right) e^{1 - x^{2}}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x e^{x^{2}} \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{e} + \frac{e^{x^{2}}}{2 \left(e x^{2} - 2 e x + 2 e\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x e^{x^{2}} \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}}{e} + \frac{e^{x^{2}}}{2 \left(e x^{2} - 2 e x + 2 e\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)