Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1+3/x)^(2*x)
-
Límite de ((2+x)/x)^x
-
Expresiones idénticas
- atan(x)/ cuatro -atan(x)/(dos + dos *x^ dos)+x/(cuatro *(uno +x^ dos))
- arco tangente de gente de (x) dividir por 4 menos arco tangente de gente de (x) dividir por (2 más 2 multiplicar por x al cuadrado ) más x dividir por (4 multiplicar por (1 más x al cuadrado ))
- arco tangente de gente de (x) dividir por cuatro menos arco tangente de gente de (x) dividir por (dos más dos multiplicar por x en el grado dos) más x dividir por (cuatro multiplicar por (uno más x en el grado dos))
- atan(x)/4-atan(x)/(2+2*x2)+x/(4*(1+x2))
- atanx/4-atanx/2+2*x2+x/4*1+x2
- atan(x)/4-atan(x)/(2+2*x²)+x/(4*(1+x²))
- atan(x)/4-atan(x)/(2+2*x en el grado 2)+x/(4*(1+x en el grado 2))
- atan(x)/4-atan(x)/(2+2x^2)+x/(4(1+x^2))
- atan(x)/4-atan(x)/(2+2x2)+x/(4(1+x2))
- atanx/4-atanx/2+2x2+x/41+x2
- atanx/4-atanx/2+2x^2+x/41+x^2
- atan(x) dividir por 4-atan(x) dividir por (2+2*x^2)+x dividir por (4*(1+x^2))
-
Expresiones semejantes
- atan(x)/4+atan(x)/(2+2*x^2)+x/(4*(1+x^2))
- atan(x)/4-atan(x)/(2-2*x^2)+x/(4*(1+x^2))
- atan(x)/4-atan(x)/(2+2*x^2)-x/(4*(1+x^2))
- atan(x)/4-atan(x)/(2+2*x^2)+x/(4*(1-x^2))
- arctan(x)/4-arctan(x)/(2+2*x^2)+x/(4*(1+x^2))
- arctanx/4-arctanx/(2+2*x^2)+x/(4*(1+x^2))
-
Expresiones con funciones
- Arcotangente arctan
- atan(-3+(27-x-2*x^2)^(1/3))/x
- atan(n/5)^n
- atan(4*x)/x+(-1+x)/(-125+x^3)
- atan(2/(-x^2+3*x))
- atan(-7+x)/(-343+x^3)
- Arcotangente arctan
- atan(-3+(27-x-2*x^2)^(1/3))/x
- atan(n/5)^n
- atan(4*x)/x+(-1+x)/(-125+x^3)
- atan(2/(-x^2+3*x))
- atan(-7+x)/(-343+x^3)
Límite de la función atan(x)/4-atan(x)/(2+2*x^2)+x/(4*(1+x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
/atan(x) atan(x) x \
lim |------- - -------- + ----------|
x->oo| 4 2 / 2\|
\ 2 + 2*x 4*\1 + x //
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right)$$
Limit(atan(x)/4 - atan(x)/(2 + 2*x^2) + x/((4*(1 + x^2))), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \left(x^{2} - 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4 \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}}{8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3}}{4 \left(x^{4} + 2 x^{2} + 1\right)} + \frac{x}{4 \left(x^{4} + 2 x^{2} + 1\right)} + \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3}}{4 \left(x^{4} + 2 x^{2} + 1\right)} + \frac{x}{4 \left(x^{4} + 2 x^{2} + 1\right)} + \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{8}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{2} + 4\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \left(x^{2} - 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4 \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}}{8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + 2 x \operatorname{atan}{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x^{2} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3}}{4 \left(x^{4} + 2 x^{2} + 1\right)} + \frac{x}{4 \left(x^{4} + 2 x^{2} + 1\right)} + \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3}}{4 \left(x^{4} + 2 x^{2} + 1\right)} + \frac{x}{4 \left(x^{4} + 2 x^{2} + 1\right)} + \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{8}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right) = \frac{\pi}{8}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right) = - \frac{\pi}{8}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{4 \left(x^{2} + 1\right)} + \left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2 x^{2} + 2}\right)\right) = - \frac{\pi}{8}$$
Más detalles con x→-oo