Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(x^{4} - 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(1 - x^{3}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(x^{4} - 1 \right)}}{- x^{4} + x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(x^{4} - 1 \right)}}{x \left(1 - x^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x^{4} - 1 \right)}}{x}}{\frac{d}{d x} \left(1 - x^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{4 x^{2} \left(\tan^{2}{\left(x^{4} - 1 \right)} + 1\right) - \frac{\tan{\left(x^{4} - 1 \right)}}{x^{2}}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{4 x^{2} \tan^{2}{\left(x^{4} - 1 \right)}}{3} - \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{\tan{\left(x^{4} - 1 \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{4 x^{2} \tan^{2}{\left(x^{4} - 1 \right)}}{3} - \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{\tan{\left(x^{4} - 1 \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$- \frac{4}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)