Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + x + 2\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x^{2} - 2 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(x + 2\right)}{7 x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x + 2}{7 x^{2} - 2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(7 x^{2} - 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - 2 x}{14 x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(14 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{7}$$
=
$$- \frac{1}{7}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)