Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5 x^{2} - x + 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(6 x - 1\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x^{2} + \left(9 - x\right)}{6 x - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x^{2} - x + 9}{6 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x^{2} - x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x}{3} - \frac{1}{6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x}{3} - \frac{1}{6}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)