Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (tres +x^ cinco)/(tres *x^ dos + doce *x)
- (3 más x en el grado 5) dividir por (3 multiplicar por x al cuadrado más 12 multiplicar por x)
- (tres más x en el grado cinco) dividir por (tres multiplicar por x en el grado dos más doce multiplicar por x)
- (3+x5)/(3*x2+12*x)
- 3+x5/3*x2+12*x
- (3+x⁵)/(3*x²+12*x)
- (3+x en el grado 5)/(3*x en el grado 2+12*x)
- (3+x^5)/(3x^2+12x)
- (3+x5)/(3x2+12x)
- 3+x5/3x2+12x
- 3+x^5/3x^2+12x
- (3+x^5) dividir por (3*x^2+12*x)
-
Expresiones semejantes
- (3-x^5)/(3*x^2+12*x)
- (3+x^5)/(3*x^2-12*x)
Límite de la función (3+x^5)/(3*x^2+12*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 5 \
| 3 + x |
lim |-----------|
x->oo| 2 |
\3*x + 12*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right)$$
Limit((3 + x^5)/(3*x^2 + 12*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^5:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x^{5}}}{\frac{3}{x^{3}} + \frac{12}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x^{5}}}{\frac{3}{x^{3}} + \frac{12}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{5} + 1}{12 u^{4} + 3 u^{3}}\right)$$
=
$$\frac{3 \cdot 0^{5} + 1}{3 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{4}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^5:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x^{5}}}{\frac{3}{x^{3}} + \frac{12}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{x^{5}}}{\frac{3}{x^{3}} + \frac{12}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{5} + 1}{12 u^{4} + 3 u^{3}}\right)$$
=
$$\frac{3 \cdot 0^{5} + 1}{3 \cdot 0^{3} + 12 \cdot 0^{4}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 12 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x \left(x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{5} + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 12 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4}}{6 x + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4}}{6 x + 12}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 12 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x \left(x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{5} + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 12 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4}}{6 x + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{4}}{6 x + 12}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = \frac{4}{15}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = \frac{4}{15}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = \frac{4}{15}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = \frac{4}{15}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} + 3}{3 x^{2} + 12 x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo