Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de 1+1/x
-
Expresiones idénticas
- ((- uno + tres *x)/(cuatro + tres *x))^(tres + dos *x)
- (( menos 1 más 3 multiplicar por x) dividir por (4 más 3 multiplicar por x)) en el grado (3 más 2 multiplicar por x)
- (( menos uno más tres multiplicar por x) dividir por (cuatro más tres multiplicar por x)) en el grado (tres más dos multiplicar por x)
- ((-1+3*x)/(4+3*x))(3+2*x)
- -1+3*x/4+3*x3+2*x
- ((-1+3x)/(4+3x))^(3+2x)
- ((-1+3x)/(4+3x))(3+2x)
- -1+3x/4+3x3+2x
- -1+3x/4+3x^3+2x
- ((-1+3*x) dividir por (4+3*x))^(3+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((-1+3*x)/(4+3*x))^(3-2*x)
- ((-1-3*x)/(4+3*x))^(3+2*x)
- ((1+3*x)/(4+3*x))^(3+2*x)
- ((-1+3*x)/(4-3*x))^(3+2*x)
Límite de la función ((-1+3*x)/(4+3*x))^(3+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
3 + 2*x
/-1 + 3*x\
lim |--------|
x->oo\4 + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$
Limit(((-1 + 3*x)/(4 + 3*x))^(3 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 4\right) - 5}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{3 x + 4} + \frac{3 x + 4}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 4}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{3} - \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = e^{- \frac{10}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 4\right) - 5}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{3 x + 4} + \frac{3 x + 4}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 4}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{1}{3} - \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \sqrt[3]{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{10 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{10}{3}} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = e^{- \frac{10}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = - \frac{1}{64}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = - \frac{1}{64}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = \frac{32}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = \frac{32}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = - \frac{1}{64}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = - \frac{1}{64}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = \frac{32}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = \frac{32}{16807}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 1}{3 x + 4}\right)^{2 x + 3} = e^{- \frac{10}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico