Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2*x^2+2*x^3)/(-4*x^2+5*x^3)
-
Límite de (-2+x)/(-2+sqrt(2)*sqrt(x))
-
Límite de (1-cos(x)^2)/(x^2-sin(x)^2)
-
Límite de (sqrt(2-x)-sqrt(6+x))/(-6+x^2-x)
-
Expresiones idénticas
- ((- cinco + tres *x)/(uno + tres *x))^(cuatro *x)
- (( menos 5 más 3 multiplicar por x) dividir por (1 más 3 multiplicar por x)) en el grado (4 multiplicar por x)
- (( menos cinco más tres multiplicar por x) dividir por (uno más tres multiplicar por x)) en el grado (cuatro multiplicar por x)
- ((-5+3*x)/(1+3*x))(4*x)
- -5+3*x/1+3*x4*x
- ((-5+3x)/(1+3x))^(4x)
- ((-5+3x)/(1+3x))(4x)
- -5+3x/1+3x4x
- -5+3x/1+3x^4x
- ((-5+3*x) dividir por (1+3*x))^(4*x)
-
Expresiones semejantes
- ((-5+3*x)/(1-3*x))^(4*x)
- ((5+3*x)/(1+3*x))^(4*x)
- ((-5-3*x)/(1+3*x))^(4*x)
Límite de la función ((-5+3*x)/(1+3*x))^(4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
4*x
/-5 + 3*x\
lim |--------|
x->oo\1 + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$
Limit(((-5 + 3*x)/(1 + 3*x))^(4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 1\right) - 6}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{3 x + 1} + \frac{3 x + 1}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 1}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u - \frac{4}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8} = e^{-8}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = e^{-8}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 1\right) - 6}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{6}{3 x + 1} + \frac{3 x + 1}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 1}{-6}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{6}{3 x + 1}\right)^{4 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u - \frac{4}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8} = e^{-8}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = e^{-8}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = e^{-8}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = e^{-8}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 5}{3 x + 1}\right)^{4 x} = e^{-8}$$
Más detalles con x→-oo