Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(5 x + 10\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -2^+} \sin{\left(x + 2 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{5 x + 10}{\sin{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{5 \left(x + 2\right)}{\sin{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x + 10\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{5}{\cos{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{5}{\cos{\left(x + 2 \right)}}\right)$$
=
$$5$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)