Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- (dos + tres *x)^ cuatro /(cuatro + tres *x)^ cuatro
- (2 más 3 multiplicar por x) en el grado 4 dividir por (4 más 3 multiplicar por x) en el grado 4
- (dos más tres multiplicar por x) en el grado cuatro dividir por (cuatro más tres multiplicar por x) en el grado cuatro
- (2+3*x)4/(4+3*x)4
- 2+3*x4/4+3*x4
- (2+3*x)⁴/(4+3*x)⁴
- (2+3x)^4/(4+3x)^4
- (2+3x)4/(4+3x)4
- 2+3x4/4+3x4
- 2+3x^4/4+3x^4
- (2+3*x)^4 dividir por (4+3*x)^4
-
Expresiones semejantes
- (2+3*x)^4/(4-3*x)^4
- (2-3*x)^4/(4+3*x)^4
Límite de la función (2+3*x)^4/(4+3*x)^4
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4\
|(2 + 3*x) |
lim |----------|
x->oo| 4|
\(4 + 3*x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right)$$
Limit((2 + 3*x)^4/(4 + 3*x)^4, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{81 + \frac{216}{x} + \frac{216}{x^{2}} + \frac{96}{x^{3}} + \frac{16}{x^{4}}}{81 + \frac{432}{x} + \frac{864}{x^{2}} + \frac{768}{x^{3}} + \frac{256}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{81 + \frac{216}{x} + \frac{216}{x^{2}} + \frac{96}{x^{3}} + \frac{16}{x^{4}}}{81 + \frac{432}{x} + \frac{864}{x^{2}} + \frac{768}{x^{3}} + \frac{256}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{16 u^{4} + 96 u^{3} + 216 u^{2} + 216 u + 81}{256 u^{4} + 768 u^{3} + 864 u^{2} + 432 u + 81}\right)$$
=
$$\frac{16 \cdot 0^{4} + 96 \cdot 0^{3} + 0 \cdot 216 + 216 \cdot 0^{2} + 81}{256 \cdot 0^{4} + 0 \cdot 432 + 768 \cdot 0^{3} + 864 \cdot 0^{2} + 81} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{81 + \frac{216}{x} + \frac{216}{x^{2}} + \frac{96}{x^{3}} + \frac{16}{x^{4}}}{81 + \frac{432}{x} + \frac{864}{x^{2}} + \frac{768}{x^{3}} + \frac{256}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{81 + \frac{216}{x} + \frac{216}{x^{2}} + \frac{96}{x^{3}} + \frac{16}{x^{4}}}{81 + \frac{432}{x} + \frac{864}{x^{2}} + \frac{768}{x^{3}} + \frac{256}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{16 u^{4} + 96 u^{3} + 216 u^{2} + 216 u + 81}{256 u^{4} + 768 u^{3} + 864 u^{2} + 432 u + 81}\right)$$
=
$$\frac{16 \cdot 0^{4} + 96 \cdot 0^{3} + 0 \cdot 216 + 216 \cdot 0^{2} + 81}{256 \cdot 0^{4} + 0 \cdot 432 + 768 \cdot 0^{3} + 864 \cdot 0^{2} + 81} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(3 x + 2\right)^{4} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(3 x + 4\right)^{4} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x + 2\right)^{4}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{3}}{\left(3 x + 4\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x + 2\right)^{3}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x + 2\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x + 12}{18 x + 24}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(18 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} \left(18 x + 24\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(3 x + 2\right)^{4} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(3 x + 4\right)^{4} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x + 2\right)^{4}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{3}}{\left(3 x + 4\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x + 2\right)^{3}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x + 2\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x + 12}{18 x + 24}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(18 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} \left(18 x + 24\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = \frac{625}{2401}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = \frac{625}{2401}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = \frac{1}{16}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = \frac{625}{2401}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = \frac{625}{2401}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x + 2\right)^{4}}{\left(3 x + 4\right)^{4}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo