Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(2 - \sqrt{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\sqrt{6 x + 1} - 5\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{6 x + 1} - 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 - \sqrt{x}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{6 x + 1} - 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(- \frac{\sqrt{6 x + 1}}{6 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+} - \frac{5}{12}$$
=
$$\lim_{x \to 4^+} - \frac{5}{12}$$
=
$$- \frac{5}{12}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)