Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((seis + cinco *x)/(cuatro + cinco *x))^(seis *x)
- ((6 más 5 multiplicar por x) dividir por (4 más 5 multiplicar por x)) en el grado (6 multiplicar por x)
- ((seis más cinco multiplicar por x) dividir por (cuatro más cinco multiplicar por x)) en el grado (seis multiplicar por x)
- ((6+5*x)/(4+5*x))(6*x)
- 6+5*x/4+5*x6*x
- ((6+5x)/(4+5x))^(6x)
- ((6+5x)/(4+5x))(6x)
- 6+5x/4+5x6x
- 6+5x/4+5x^6x
- ((6+5*x) dividir por (4+5*x))^(6*x)
-
Expresiones semejantes
- ((6+5*x)/(4-5*x))^(6*x)
- ((6-5*x)/(4+5*x))^(6*x)
Límite de la función ((6+5*x)/(4+5*x))^(6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
6*x
/6 + 5*x\
lim |-------|
x->oo\4 + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$
Limit(((6 + 5*x)/(4 + 5*x))^(6*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 4\right) + 2}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 4} + \frac{2}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 4}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12 u}{5} - \frac{24}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12 u}{5}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{24}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{24}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{12}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{12}{5}} = e^{\frac{12}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = e^{\frac{12}{5}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 4\right) + 2}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 4}{5 x + 4} + \frac{2}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 4}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{5 x + 4}\right)^{6 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12 u}{5} - \frac{24}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12 u}{5}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{24}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{24}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{12 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{12}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{12}{5}} = e^{\frac{12}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = e^{\frac{12}{5}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = e^{\frac{12}{5}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = \frac{1771561}{531441}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = \frac{1771561}{531441}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = e^{\frac{12}{5}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = \frac{1771561}{531441}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = \frac{1771561}{531441}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 6}{5 x + 4}\right)^{6 x} = e^{\frac{12}{5}}$$
Más detalles con x→-oo