Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-27+x^3)/(-3+x)
-
Límite de (-6+x+x^2)/(-2+x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(20+x^2-12*x)
-
Límite de tan(5*x)/x
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x^ dos)/(- uno +x^ dos))^(x^ dos)
- ((1 más x al cuadrado ) dividir por ( menos 1 más x al cuadrado )) en el grado (x al cuadrado )
- ((uno más x en el grado dos) dividir por ( menos uno más x en el grado dos)) en el grado (x en el grado dos)
- ((1+x2)/(-1+x2))(x2)
- 1+x2/-1+x2x2
- ((1+x²)/(-1+x²))^(x²)
- ((1+x en el grado 2)/(-1+x en el grado 2)) en el grado (x en el grado 2)
- 1+x^2/-1+x^2^x^2
- ((1+x^2) dividir por (-1+x^2))^(x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((1+x^2)/(-1-x^2))^(x^2)
- ((1-x^2)/(-1+x^2))^(x^2)
- ((1+x^2)/(1+x^2))^(x^2)
Límite de la función ((1+x^2)/(-1+x^2))^(x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
\x /
/ 2\
| 1 + x |
lim |-------|
x->0+| 2|
\-1 + x /
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
Limit(((1 + x^2)/(-1 + x^2))^(x^2), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} - 1\right) + 2}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} - 1\right) + 2}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = e^{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2\
\x /
/ 2\
| 1 + x |
lim |-------|
x->0+| 2|
\-1 + x /
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
1
$$1$$
= (1.0 - 1.21032502081938e-27j)
/ 2\
\x /
/ 2\
| 1 + x |
lim |-------|
x->0-| 2|
\-1 + x /
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}}$$
1
$$1$$
= (1.0 - 1.21032502081938e-27j)
= (1.0 - 1.21032502081938e-27j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = e^{2}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = e^{2}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right)^{x^{2}} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico