Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((uno +n^ tres)/(- uno +n^ tres))^(dos +n)
- ((1 más n al cubo ) dividir por ( menos 1 más n al cubo )) en el grado (2 más n)
- ((uno más n en el grado tres) dividir por ( menos uno más n en el grado tres)) en el grado (dos más n)
- ((1+n3)/(-1+n3))(2+n)
- 1+n3/-1+n32+n
- ((1+n³)/(-1+n³))^(2+n)
- ((1+n en el grado 3)/(-1+n en el grado 3)) en el grado (2+n)
- 1+n^3/-1+n^3^2+n
- ((1+n^3) dividir por (-1+n^3))^(2+n)
-
Expresiones semejantes
- ((1+n^3)/(-1+n^3))^(2-n)
- ((1-n^3)/(-1+n^3))^(2+n)
- ((1+n^3)/(1+n^3))^(2+n)
- ((1+n^3)/(-1-n^3))^(2+n)
Límite de la función ((1+n^3)/(-1+n^3))^(2+n)
Solución
Ha introducido
[src]
2 + n
/ 3\
| 1 + n |
lim |-------|
n->oo| 3|
\-1 + n /
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$
Limit(((1 + n^3)/(-1 + n^3))^(2 + n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n^{3} - 1\right) + 2}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 1}{n^{3} - 1} + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n^{3} - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt[3]{2 u + 1} + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}{u}} = e^{\frac{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = 1$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n^{3} - 1\right) + 2}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 1}{n^{3} - 1} + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n^{3} - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt[3]{2 u + 1} + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}{u}} = e^{\frac{\sqrt[3]{2 u + 1} - 1}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = -\infty$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = \infty$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = -\infty$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = \infty$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{n + 2} = 1$$
Más detalles con n→-oo