Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- ((tres + nueve *x)/(doce + nueve *x))^(x/ nueve)
- ((3 más 9 multiplicar por x) dividir por (12 más 9 multiplicar por x)) en el grado (x dividir por 9)
- ((tres más nueve multiplicar por x) dividir por (doce más nueve multiplicar por x)) en el grado (x dividir por nueve)
- ((3+9*x)/(12+9*x))(x/9)
- 3+9*x/12+9*xx/9
- ((3+9x)/(12+9x))^(x/9)
- ((3+9x)/(12+9x))(x/9)
- 3+9x/12+9xx/9
- 3+9x/12+9x^x/9
- ((3+9*x) dividir por (12+9*x))^(x dividir por 9)
-
Expresiones semejantes
- ((3-9*x)/(12+9*x))^(x/9)
- ((3+9*x)/(12-9*x))^(x/9)
Límite de la función ((3+9*x)/(12+9*x))^(x/9)
Solución
Ha introducido
[src]
x
-
9
/3 + 9*x \
lim |--------|
x->oo\12 + 9*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$
Limit(((3 + 9*x)/(12 + 9*x))^(x/9), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(9 x + 12\right) - 9}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{9}{9 x + 12} + \frac{9 x + 12}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{9}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{9 x + 12}{-9}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{9}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{9} - \frac{4}{27}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{9}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{27}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{27}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{9}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt[9]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt[9]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{9}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = e^{- \frac{1}{9}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(9 x + 12\right) - 9}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{9}{9 x + 12} + \frac{9 x + 12}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{9}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{9 x + 12}{-9}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{9}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{9} - \frac{4}{27}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{9}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{27}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{27}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{9}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{9}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt[9]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt[9]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{9}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = e^{- \frac{1}{9}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = e^{- \frac{1}{9}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = \frac{2^{\frac{2}{9}} \cdot 7^{\frac{8}{9}}}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = \frac{2^{\frac{2}{9}} \cdot 7^{\frac{8}{9}}}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = e^{- \frac{1}{9}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = \frac{2^{\frac{2}{9}} \cdot 7^{\frac{8}{9}}}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = \frac{2^{\frac{2}{9}} \cdot 7^{\frac{8}{9}}}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{9 x + 3}{9 x + 12}\right)^{\frac{x}{9}} = e^{- \frac{1}{9}}$$
Más detalles con x→-oo