Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{2} - 6 x - 3\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - 3\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 3 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x^{2} - 6 x - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 4 x - 6}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 4 x - 6}{2 x + 2}\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)