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sin(3*x)/sin(4*x)
Límite de la función/ sin(4*x)/ sin(3*x)/ sin(3*x)/sin(4*x)

Límite de la función sin(3*x)/sin(4*x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /sin(3*x)\
 lim |--------|
x->oo\sin(4*x)/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$ 
Limit(sin(3*x)/sin(4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 3 x$$
y
$$v = 4 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{4 \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)}{4}$$
=
$$\frac{3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\frac{3 \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{4}$$
=
$$\frac{3}{4}$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right) = \frac{3}{4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
     /sin(3*x)\
 lim |--------|
x->oo\sin(4*x)/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /sin(3*x)\
 lim |--------|
x->0+\sin(4*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$ 
3/4
$$\frac{3}{4}$$ 
= 0.75
     /sin(3*x)\
 lim |--------|
x->0-\sin(4*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$ 
3/4
$$\frac{3}{4}$$ 
= 0.75
= 0.75
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right) = \frac{3}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(3 \right)}}{\sin{\left(4 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(3 \right)}}{\sin{\left(4 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
0.75
0.75
Gráfico
Límite de la función sin(3*x)/sin(4*x)
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