Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((-7+2*x^2+21*x)/(9+2*x^2+18*x))^(1+2*x)
-
Límite de ((2+2*x^2)/(1+2*x^2))^(x^2)
-
Límite de (2-cos(3*x))^(1/log(1+x^2))
-
Límite de (2-4*x)/(sqrt(x)-sqrt(2)/2)
-
Expresiones idénticas
- (x/(cinco +x))^(ocho +x)
- (x dividir por (5 más x)) en el grado (8 más x)
- (x dividir por (cinco más x)) en el grado (ocho más x)
- (x/(5+x))(8+x)
- x/5+x8+x
- x/5+x^8+x
- (x dividir por (5+x))^(8+x)
-
Expresiones semejantes
- (x/(5+x))^(8-x)
- (x/(5-x))^(8+x)
Límite de la función (x/(5+x))^(8+x)
Solución
Ha introducido
[src]
8 + x
/ x \
lim |-----|
x->oo\5 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 5}\right)^{x + 8}$$
Limit((x/(5 + x))^(8 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 5}\right)^{x + 8}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 5}\right)^{x + 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 5\right) - 5}{x + 5}\right)^{x + 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5}\right)^{x + 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x + 5}\right)^{x + 8}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x + 5}\right)^{x + 8}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 - 5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-5}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-5} = e^{-5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 5}\right)^{x + 8} = e^{-5}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 5}\right)^{x + 8}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 5}\right)^{x + 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 5\right) - 5}{x + 5}\right)^{x + 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5}\right)^{x + 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x + 5}\right)^{x + 8}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{-5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x + 5}\right)^{x + 8}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 - 5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-5}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-5} = e^{-5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 5}\right)^{x + 8} = e^{-5}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Gráfico