Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+3*x))/(sqrt(x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- ((ocho + tres *x)/(seis + tres *x))^(-x)
- ((8 más 3 multiplicar por x) dividir por (6 más 3 multiplicar por x)) en el grado ( menos x)
- ((ocho más tres multiplicar por x) dividir por (seis más tres multiplicar por x)) en el grado ( menos x)
- ((8+3*x)/(6+3*x))(-x)
- 8+3*x/6+3*x-x
- ((8+3x)/(6+3x))^(-x)
- ((8+3x)/(6+3x))(-x)
- 8+3x/6+3x-x
- 8+3x/6+3x^-x
- ((8+3*x) dividir por (6+3*x))^(-x)
-
Expresiones semejantes
- ((8+3*x)/(6+3*x))^(x)
- ((8+3*x)/(6-3*x))^(-x)
- ((8-3*x)/(6+3*x))^(-x)
Límite de la función ((8+3*x)/(6+3*x))^(-x)
Solución
Ha introducido
[src]
-x
/8 + 3*x\
lim |-------|
x->oo\6 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x}$$
Limit(((8 + 3*x)/(6 + 3*x))^(-x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 6\right) + 2}{3 x + 6}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 6}{3 x + 6} + \frac{2}{3 x + 6}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x + 6}\right)^{- x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 6}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x + 6}\right)^{- x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 - \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = e^{- \frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(3 x + 6\right) + 2}{3 x + 6}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 6}{3 x + 6} + \frac{2}{3 x + 6}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x + 6}\right)^{- x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{3 x + 6}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3 x + 6}\right)^{- x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 - \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{2 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{- \frac{2}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = e^{- \frac{2}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = \frac{9}{11}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = \frac{9}{11}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = \frac{9}{11}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = \frac{9}{11}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x + 8}{3 x + 6}\right)^{- x} = e^{- \frac{2}{3}}$$
Más detalles con x→-oo