Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de ((5-x)/(6-x))^(2+x)
-
Límite de (3-sqrt(x))/(4-sqrt(-2+2*x))
- Límite de (2+x^3+4*x^2+5*x)/(-2+x^3-3*x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres +x)/(- uno +x))^(uno / dos +x/ cuatro)
- ((3 más x) dividir por ( menos 1 más x)) en el grado (1 dividir por 2 más x dividir por 4)
- ((tres más x) dividir por ( menos uno más x)) en el grado (uno dividir por dos más x dividir por cuatro)
- ((3+x)/(-1+x))(1/2+x/4)
- 3+x/-1+x1/2+x/4
- 3+x/-1+x^1/2+x/4
- ((3+x) dividir por (-1+x))^(1 dividir por 2+x dividir por 4)
-
Expresiones semejantes
- ((3+x)/(-1-x))^(1/2+x/4)
- ((3-x)/(-1+x))^(1/2+x/4)
- ((3+x)/(-1+x))^(1/2-x/4)
- ((3+x)/(1+x))^(1/2+x/4)
Límite de la función ((3+x)/(-1+x))^(1/2+x/4)
Solución
Ha introducido
[src]
1 x
- + -
2 4
/3 + x \
lim |------|
x->oo\-1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$
Limit(((3 + x)/(-1 + x))^(1/2 + x/4), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 4}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{4}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + \frac{3}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 1\right) + 4}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{4}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 1}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + \frac{3}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = e$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = e$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = \infty \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = e$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = \infty \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} = e$$
Más detalles con x→-oo