Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 9 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(7 x^{2} + 2 x - 5\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x + \left(x^{2} + 1\right)}{7 x^{2} + \left(2 x - 5\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 9 x + 1}{7 x^{2} + 2 x - 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 9 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(7 x^{2} + 2 x - 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 9}{14 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(14 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{7}$$
=
$$\frac{1}{7}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)