Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de ((3+x)/x)^(-5*x)
-
Expresiones idénticas
- tres ^(-x)*(dos + dos *x^ siete + dieciocho *x^ cinco)/ nueve
- 3 en el grado ( menos x) multiplicar por (2 más 2 multiplicar por x en el grado 7 más 18 multiplicar por x en el grado 5) dividir por 9
- tres en el grado ( menos x) multiplicar por (dos más dos multiplicar por x en el grado siete más dieciocho multiplicar por x en el grado cinco) dividir por nueve
- 3(-x)*(2+2*x7+18*x5)/9
- 3-x*2+2*x7+18*x5/9
- 3^(-x)*(2+2*x⁷+18*x⁵)/9
- 3^(-x)(2+2x^7+18x^5)/9
- 3(-x)(2+2x7+18x5)/9
- 3-x2+2x7+18x5/9
- 3^-x2+2x^7+18x^5/9
- 3^(-x)*(2+2*x^7+18*x^5) dividir por 9
-
Expresiones semejantes
- 3^(x)*(2+2*x^7+18*x^5)/9
- 3^(-x)*(2-2*x^7+18*x^5)/9
- 3^(-x)*(2+2*x^7-18*x^5)/9
Límite de la función 3^(-x)*(2+2*x^7+18*x^5)/9
Solución
Ha introducido
[src]
/ -x / 7 5\\
|3 *\2 + 2*x + 18*x /|
lim |----------------------|
x->oo\ 9 /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right)$$
Limit((3^(-x)*(2 + 2*x^7 + 18*x^5))/9, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{7} + 9 x^{5} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 \cdot 3^{x}}{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(x^{7} + 9 x^{5} + 1\right)}{9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{7} + 9 x^{5} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(7 x^{6} + 45 x^{4}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(7 x^{6} + 45 x^{4}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(42 x^{5} + 180 x^{3}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(42 x^{5} + 180 x^{3}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(210 x^{4} + 540 x^{2}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(210 x^{4} + 540 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{3}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(840 x^{3} + 1080 x\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(840 x^{3} + 1080 x\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{4}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(2520 x^{2} + 1080\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2520 x^{2} + 1080\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{5}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1120 \cdot 3^{- x} x}{\log{\left(3 \right)}^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1120 \cdot 3^{- x} x}{\log{\left(3 \right)}^{6}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 6 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{7} + 9 x^{5} + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 \cdot 3^{x}}{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(x^{7} + 9 x^{5} + 1\right)}{9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{7} + 9 x^{5} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(7 x^{6} + 45 x^{4}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(7 x^{6} + 45 x^{4}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(42 x^{5} + 180 x^{3}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(42 x^{5} + 180 x^{3}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(210 x^{4} + 540 x^{2}\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(210 x^{4} + 540 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{3}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(840 x^{3} + 1080 x\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(840 x^{3} + 1080 x\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{4}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \cdot 3^{- x} \left(2520 x^{2} + 1080\right)}{9 \log{\left(3 \right)}^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2520 x^{2} + 1080\right)}{\frac{d}{d x} \frac{9 \cdot 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{5}}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1120 \cdot 3^{- x} x}{\log{\left(3 \right)}^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1120 \cdot 3^{- x} x}{\log{\left(3 \right)}^{6}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 6 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right) = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right) = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right) = \frac{22}{27}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right) = \frac{22}{27}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right) = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right) = \frac{2}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right) = \frac{22}{27}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right) = \frac{22}{27}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3^{- x} \left(18 x^{5} + \left(2 x^{7} + 2\right)\right)}{9}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo