Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+x)^4-(-1+x)^4)/((1+x)^3+(-1+x)^3)
-
Límite de (-1+sqrt(x)+sqrt(3+2*x^2))/(3+x)
-
Límite de 9-4*e^x
-
Límite de (1-4/x)^x
-
Expresiones idénticas
- x^x*(uno +x)^(-x)*factorial(uno +x)/((uno +x)*factorial(x))
- x en el grado x multiplicar por (1 más x) en el grado ( menos x) multiplicar por factorial(1 más x) dividir por ((1 más x) multiplicar por factorial(x))
- x en el grado x multiplicar por (uno más x) en el grado ( menos x) multiplicar por factorial(uno más x) dividir por ((uno más x) multiplicar por factorial(x))
- xx*(1+x)(-x)*factorial(1+x)/((1+x)*factorial(x))
- xx*1+x-x*factorial1+x/1+x*factorialx
- x^x(1+x)^(-x)factorial(1+x)/((1+x)factorial(x))
- xx(1+x)(-x)factorial(1+x)/((1+x)factorial(x))
- xx1+x-xfactorial1+x/1+xfactorialx
- x^x1+x^-xfactorial1+x/1+xfactorialx
- x^x*(1+x)^(-x)*factorial(1+x) dividir por ((1+x)*factorial(x))
-
Expresiones semejantes
- x^x*(1+x)^(x)*factorial(1+x)/((1+x)*factorial(x))
- x^x*(1+x)^(-x)*factorial(1-x)/((1+x)*factorial(x))
- x^x*(1-x)^(-x)*factorial(1+x)/((1+x)*factorial(x))
- x^x*(1+x)^(-x)*factorial(1+x)/((1-x)*factorial(x))
-
Expresiones con funciones
- factorial
- factorial(1+x)^2/factorial(1+2*x)
- factorial(1+x)/(1+x)
- factorial(2*x)/factorial(2^n)
- factorial(-1+2*x)/x^2
- factorial(1+x)/(-factorial(1+x)+factorial(x))
- factorial
- factorial(1+x)^2/factorial(1+2*x)
- factorial(1+x)/(1+x)
- factorial(2*x)/factorial(2^n)
- factorial(-1+2*x)/x^2
- factorial(1+x)/(-factorial(1+x)+factorial(x))
Límite de la función x^x*(1+x)^(-x)*factorial(1+x)/((1+x)*factorial(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x -x \
|x *(1 + x) *(1 + x)!|
lim |---------------------|
x->oo\ (1 + x)*x! /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)!}{\left(x + 1\right) x!}\right)$$
Limit(((x^x*(1 + x)^(-x))*factorial(1 + x))/(((1 + x)*factorial(x))), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{\left(x + 1\right) x!}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)!}{\left(x + 1\right) x!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)!}{\left(x + 1\right) x!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{\left(x + 1\right) x!}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{x^{2} x! + 2 x x! + x!} - \frac{x^{x} \left(x + 1\right)! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x x!^{2} + x!^{2}} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)} \left(x + 1\right)!}{x x! + x!} + \frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{x x! + x!} + \frac{x^{x} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x x! + x!}}{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x + 1} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{x^{2} x! + 2 x x! + x!} - \frac{x^{x} \left(x + 1\right)! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x x!^{2} + x!^{2}} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)} \left(x + 1\right)!}{x x! + x!} + \frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{x x! + x!} + \frac{x^{x} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x x! + x!}}{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x + 1} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$e^{-1}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{\left(x + 1\right) x!}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)!}{\left(x + 1\right) x!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)!}{\left(x + 1\right) x!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{\left(x + 1\right) x!}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{x^{2} x! + 2 x x! + x!} - \frac{x^{x} \left(x + 1\right)! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x x!^{2} + x!^{2}} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)} \left(x + 1\right)!}{x x! + x!} + \frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{x x! + x!} + \frac{x^{x} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x x! + x!}}{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x + 1} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{x^{2} x! + 2 x x! + x!} - \frac{x^{x} \left(x + 1\right)! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x x!^{2} + x!^{2}} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)} \left(x + 1\right)!}{x x! + x!} + \frac{x^{x} \left(x + 1\right)!}{x x! + x!} + \frac{x^{x} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x x! + x!}}{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x + 1} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$e^{-1}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica