Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 4^+} \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(x^{2} - 3 x - 4\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}}{- 3 x + \left(x^{2} - 4\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}}{x^{2} - 3 x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(x - 4 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 3 x - 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{1}{\left(2 x - 3\right) \left(x^{2} - 8 x + 17\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{1}{\left(2 x - 3\right) \left(x^{2} - 8 x + 17\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{5}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)