Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt[3]{1 - 6 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{1 - 6 x} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{x \left(\sqrt[3]{1 - 6 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(3 x \right)} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{x}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt[3]{1 - 6 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(1 - 6 x\right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{3 \cos{\left(3 x \right)} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{x} + \frac{3 \sin{\left(3 x \right)}}{x \left(9 x^{2} + 1\right)} - \frac{\sin{\left(3 x \right)} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{x^{2}}\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3 \sin{\left(3 x \right)}}{18 x^{3} + 2 x} - \frac{3 \cos{\left(3 x \right)} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{2 x} + \frac{\sin{\left(3 x \right)} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{3 \sin{\left(3 x \right)}}{18 x^{3} + 2 x} - \frac{3 \cos{\left(3 x \right)} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{2 x} + \frac{\sin{\left(3 x \right)} \operatorname{atan}{\left(3 x \right)}}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$- \frac{9}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)